Trong không gian 3 chiều của cơ học Newton, một hạt mang điện tích q nằm trong điện trường E → {\displaystyle {\vec {E}}} và từ trường B → {\displaystyle {\vec {B}}} chịu tác động bởi lực Lorentz và phương trình chi phối chuyển động của hạt là

d p → / d t = q ( E →   + v → ∧ B → ) {\displaystyle d{\vec {p}}/dt=\,q\,({\vec {E}}\ +{\vec {v}}\wedge {\vec {B}})}

Để đưa công thức trên vào trong cơ học tương đối tính, chúng ta phải xét véc tơ-4 năng lượng-động lượng p {\displaystyle \mathbf {p} } thay vì véc tơ p → {\displaystyle {\vec {p}}} và xác định sự biến thiên của véc tơ-4 này không phải là trong hệ quy chiếu Galileo bất kỳ mà là trong hệ quy chiếu riêng của chính hạt. Thành phần vế trái có dạng d p / d τ {\displaystyle d\mathbf {p} /d\tau } , với τ {\displaystyle \tau } là thời gian riêng của hạt. Trên vế phải là đại lượng độc lập với việc lựa chọn hệ quy chiếu và là một hàm tuyến tính của vận tốc v → {\displaystyle {\vec {v}}} của hạt. Thật vậy thành phần không gian của phương trình động lực là tuyến tính trong v → {\displaystyle \,{\vec {v}}\,} do nó được viết

d p → / d τ = γ d p → / d t = γ q ( E →   + v → ∧ B → ) = q ( u 0 E → / c + u → ∧ B → ) {\displaystyle d{\vec {p}}/d\tau =\gamma d{\vec {p}}/dt=\gamma q({\vec {E}}\ +{\vec {v}}\wedge {\vec {B}})=q(u_{0}{\vec {E}}/c+{\vec {u}}\wedge {\vec {B}})}

Trong biểu thức này u 0 {\displaystyle \,u_{0}\,} và u → {\displaystyle {\vec {u}}} là các thành phần trong hệ quy chiếu của vectơ-4 u {\displaystyle \mathbf {u} \,} có thể được viết thành:

u = ( u 0 , u → ) = ( c 1 − ( v 2 / c 2 ) , v → 1 − ( v 2 / c 2 ) ) ≡ ( γ c , γ v → ) {\displaystyle \mathbf {u} =(u_{0},{\vec {u}})=\left({\frac {c}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}},{\frac {\vec {v}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}\right)\equiv (\gamma c,\gamma {\vec {v}})}

Viết lại phương trình trên thành dạng tường minh với ba phương trình theo ba trục không gian:

{ d p x / d τ = q ( u 0 E x / c + u y B z − u z B y ) d p y / d τ = q ( u 0 E y / c + u z B x − u x B z ) d p z / d τ = q ( u 0 E z / c + u x B y − u y B x ) {\displaystyle {\begin{cases}dp_{x}/d\tau =q(u_{0}E_{x}/c+u_{y}B_{z}-u_{z}B_{y})\\dp_{y}/d\tau =q(u_{0}E_{y}/c+u_{z}B_{x}-u_{x}B_{z})\\dp_{z}/d\tau =q(u_{0}E_{z}/c+u_{x}B_{y}-u_{y}B_{x})\end{cases}}}

Đối với thành phần thời gian của phương trình động lực (tương ứng với luật biến thiên của năng lượng) được viết thành

d p 0 / d τ = γ d ( W / c ) / d t = γ q ( E → / c ) ⋅ v → ≡ q ( E → / c ) ⋅ u → {\displaystyle dp_{0}/d\tau =\gamma d(W/c)/dt=\gamma q({\vec {E}}/c)\cdot {\vec {v}}\equiv q({\vec {E}}/c)\cdot {\vec {u}}}

trong đó W là công sinh bởi lực q E → {\displaystyle q{\vec {E}}}

Bằng cách nhóm bốn phương trình trên như là các thành phần của không-thời gian bốn chiều, tốc độ thay đổi của véc tơ-4 năng lượng-động lượng viết thành

( d p 0 / d τ d p x / d τ d p y / d τ d p z / d τ ) = q ( 0 E x / c E y / c E z / c E x / c 0 B z − B y E y / c − B z 0 B x E z / c B y − B x 0 ) ( u 0 u x u y u z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}dp_{0}/d\tau \\dp_{x}/d\tau \\dp_{y}/d\tau \\dp_{z}/d\tau \end{pmatrix}}=q{\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{0}\\u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}}

Phương trình ma trận chúng ta vừa viết ở trên cho thấy trong thuyết tương đối hẹp điện trường và từ trường cấu thành lên một thực thể duy nhất. Thực sự là cách trình bày chia nhỏ ở trên theo các trục tọa độ đôi khi không chính xác khi bỏ qua những ưu điểm mạnh của thuyết tương đối hẹp và cần phải sử dụng và biểu diễn bằng công cụ phép tính tensor. Phương trình ma trận ở trên là diễn giải thành các thành phần của phương trình tensor, có tính chất không phụ thuộc vào hệ tọa độ miêu tả quá trình vật lý

d p / d τ = q F ( u ) . {\displaystyle d\mathbf {p} /d\tau =q\mathbf {F} (\mathbf {u} )\,.}

F {\displaystyle \mathbf {F} } là tensor của điện từ trường (tensor Maxwell hoặc tensor Faraday). Nó là đại lượng biểu diễn cho tính chất vật lý của điện từ trường. Các thành phần của nó biểu diễn theo hệ tọa độ cụ thể được viết ở phương trình ma trận bên trên.